一、无环图（Acyclic Graph）

1. 定义

无环图是一种没有环路的图，图中的路径不会形成封闭回路。如果无环图是有向的，则称为 有向无环图（DAG, Directed Acyclic Graph）。

2. 特点

• 无环性：无环图中不存在任何顶点能通过一系列边回到自身的路径。
• 拓扑结构：有向无环图可以进行拓扑排序，将图中的所有顶点线性排序，使得对于每条边 u→v，顶点 u 在 v 之前。
• 有向无环图（DAG）：有向图中没有任何循环的子图。
• 无向无环图：若是无向图，则无环图为树或森林。

3. 优缺点

• 优点：
  • DAG 支持拓扑排序，适合表达依赖关系。
  • 在算法中常用于流程管理，如任务调度、编译器中的依赖图。
• 缺点：
  • 图的构建和验证无环性相对复杂。
  • 无法表达循环依赖或重复路径。

4. 应用场景

• 任务调度：表示任务及其依赖关系，确保任务按正确顺序执行。
• 数据流分析：分析和优化数据流，确保无循环依赖。
• 版本控制：Git 等版本控制系统使用 DAG 表示分支和合并。

5. 示例

DAG 示例：

该图表示任务 A 完成后可以进行任务 B 和 D，而 C 需要在 B 完成后执行。

示例代码（Java 实现检测 DAG）

import java.util.*;

class Graph {
    private Map<String, List<String>> adjacencyList;

    public Graph() {
        adjacencyList = new HashMap<>();
    }

    public void addVertex(String vertex) {
        adjacencyList.putIfAbsent(vertex, new ArrayList<>());
    }

    public void addEdge(String from, String to) {
        adjacencyList.putIfAbsent(from, new ArrayList<>());
        adjacencyList.putIfAbsent(to, new ArrayList<>());
        adjacencyList.get(from).add(to);
    }

    public boolean isDAG() {
        Set<String> visited = new HashSet<>();
        Set<String> recStack = new HashSet<>();
        for (String vertex : adjacencyList.keySet()) {
            if (isCyclic(vertex, visited, recStack)) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

    private boolean isCyclic(String vertex, Set<String> visited, Set<String> recStack) {
        if (recStack.contains(vertex)) {
            return true;
        }
        if (visited.contains(vertex)) {
            return false;
        }
        visited.add(vertex);
        recStack.add(vertex);
        for (String neighbor : adjacencyList.get(vertex)) {
            if (isCyclic(neighbor, visited, recStack)) {
                return true;
            }
        }
        recStack.remove(vertex);
        return false;
    }
}

二、邻接矩阵（Adjacency Matrix）

1. 定义

邻接矩阵是图的表示方式之一，用一个二维数组来存储图中顶点之间的连接关系。矩阵的行和列代表图的顶点，数组元素表示对应顶点之间是否存在边。

2. 特点

• 大小：对于有 n 个顶点的图，邻接矩阵的大小为 n×n。
• 元素表示：
  • 在无权图中，元素为 0 或 1，表示有无边。
  • 在加权图中，元素为边的权重或无穷大（表示无边）。

3. 优缺点

• 优点：
  • 查询高效：判断顶点之间是否存在边的时间复杂度为 O(1)。
  • 简单直观：适合存储稠密图（边多的图）。
• 缺点：
  • 空间复杂度高：需要 O(n2) 的空间，即使图较稀疏。
  • 添加和删除顶点不便：需要重新调整矩阵。

4. 应用场景

• 网络图：存储所有可能的连接关系，如网络拓扑结构。
• 图论算法：如 Floyd-Warshall 算法求任意两点间的最短路径。

5. 示例

邻接矩阵表示如下图：

邻接矩阵表示：

	A	B	C	D
A	0	1	1	0
B	1	0	0	1
C	1	0	0	1
D	0	1	1	0

示例代码（Java 实现邻接矩阵）

class AdjacencyMatrixGraph {
    private int[][] matrix;
    private int numVertices;

    public AdjacencyMatrixGraph(int numVertices) {
        this.numVertices = numVertices;
        matrix = new int[numVertices][numVertices];
    }

    public void addEdge(int i, int j) {
        matrix[i][j] = 1;
        matrix[j][i] = 1; // 无向图
    }

    public boolean hasEdge(int i, int j) {
        return matrix[i][j] != 0;
    }
}

三、邻接表（Adjacency List）

1. 定义

邻接表是另一种图的表示方式，使用链表或数组列表来存储每个顶点的邻居。每个顶点维护一个列表，包含它所连接的所有其他顶点。

2. 特点

• 存储灵活：根据每个顶点的度数，所需的存储空间不同。
• 空间高效：对于稀疏图（边少的图）更节省空间，所需空间为 O(V+E)。
• 动态性强：添加和删除边和顶点相对简单。

3. 优缺点

• 优点：
  • 空间节省：适合稀疏图。
  • 动态操作方便：容易添加和删除边。
• 缺点：
  • 查询效率低：判断是否存在边的时间复杂度为 O(k)，其中 k 是顶点的度数。
  • 实现稍复杂：相比邻接矩阵，结构更复杂。

4. 应用场景

• 社交网络：表示用户和用户之间的朋友关系。
• 图遍历：如广度优先搜索（BFS）和深度优先搜索（DFS）中经常使用。

5. 示例

邻接表表示如下图：

邻接表表示：

import java.util.*;

class AdjacencyListGraph {
    private Map<Integer, List<Integer>> adjacencyList;

    public AdjacencyListGraph() {
        adjacencyList = new HashMap<>();
    }

    public void addVertex(int vertex) {
        adjacencyList.putIfAbsent(vertex, new ArrayList<>());
    }

    public void addEdge(int vertex1, int vertex2) {
        adjacencyList.get(vertex1).add(vertex2);
        adjacencyList.get(vertex2).add(vertex1); // 无向图
    }

    public List<Integer> getNeighbors(int vertex) {
        return adjacencyList.get(vertex);
    }
}

总结比较

表示方式	优点	缺点	应用场景
邻接矩阵	查询边存在性快（O(1)），结构简单	空间复杂度高（O(n^2)），稀疏图不高效	稠密图、网络结构
邻接表	空间效率高（O(V + E)），适合动态操作	查询边存在性慢（O(k)）	稀疏图、社交网络
无环图 (DAG)	适合表达依赖关系，可拓扑排序	验证无环性复杂	任务调度、数据流分析